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Tnhi , donde el valor de n de- pende de la rama del logaritmo (esto es, del intervalo elegido para los valores de la 2 fu nción arg). 3. 45 ALGU NAS FUNCIONES ELEME NTALES valores de n si y sólo s i b es u n entero. S im ilarmente puede mostrarse que e2 IDl iplq tiene q valores distintos si p y q no tienen fac tores comunes. S i b es irracional y s i e 2 1tnh i = e 21tmbi se s i gu e que e <21tbi) (n - m) = 1 y , por tanto, b (n - m) es un entero; dado que b es irracional, esto implica que n - m = O.

Asignamos oo en C al polo norte de S. Geométricamente vemos que z está cerca de oo si y sólo si los puntos correspondientes sobre la esfera de Riemann están cerca en el sentido usual de cercanía en R 3• La demostración de esto se pide en el ejercicio 24. 8. la esfera de Riemann. {iemann S representa una ilustración geométrica conveniente del plano extendido C = C u Joo). La esfera destaca un hecho acerca del plano extendido el cual es algunas veces útil en la teoría subsecuente. Puesto que S es un subcon­ junto cerrado y acotado de R3, es compacto.

4. 59 FU NCION ES CONTI N UAS Los conjuntos cerrados y abiertos son importantes por su relación con las fun­ ciones continuas y las sucesiones, y por otras construcciones que veremos después. 8. Un conjunto F e e es cerrado si siempre que una sucesión de puntos en F tal que w = lím n ---t oo z n existe, entonces z 1 , z2, w E z 3, • . es F. Demostración. Suponga que F es cerrado y que z es una sucesión de puntos n en F. Si D(w ; r) es cualquier disco alrededor de w , entonces, por la definición de convergencia, z está en D(w ; r) para n suficientemente grande.

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