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By Nicolas Bourbaki

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E) Déduire de a), c) et d) que, si N = M O P, on a + A(N) = + a,alors inf (A(M), h(P)). E n particulier, pour que N admette une présentation finie il faut e t il sulfit qu'il en soit ainsi pour M et P. j ) Soient N,,N, deux sous-modules d'un A-module M. Supposons que NI et N, admettent une présentation finie. Pour que NI + N, admette une présentation finie, il faut e t il sufit que NI n N, soit de type fini. 7) a ) Avec les notations de l'exerc. 6, montrer que, si M est un module projectif, on a A(M) = - 1 ou A(M) = f m.

II, § 4, exerc. 17). 19) Soit A un anneau. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : CI) A est semi-simple. p) Tout idéal à droite de A est un A-module injectif. y) Tout A-module à droite est projectif. 8) Tout A-module à droite est injectif. 20) Soient A un anneau intègre, B une A-algèbre qui est un A-module plat, M un A-module sans torsion. Montrer que, si t E B n'est pas diviseur de zéro, la relation t . z = O pour un z E B @a M entraîne z = 0. ) 21) Soient S un anneau commutatif, R une S-algèbre ccunmutative, B une S-algèbre (commutative ou non), B(,, la R-algèbre obtenue à partir de B par extension des scalaires.

Fidèlement plat), il faut F le soit. et il sufit que E 10 Si F est plat, E BRF est plat ( $ 2 , no 7, prop. 8). 20 Supposons E @R F plat, et soit v : N' -+ N un homomorphisme injectif de S-modules à gauche. L'homomorphisme 1,@1,@v: E@RF@sNf+E@EFBsN est alorsinjectif ( $ 2 , nO3, prop. $). On déduit d u no 1, prop. 2 que IF@v : F@sN' -+ F@sN est injectif ;donc F est un S-module plat ( $ 2, no 3, prop. 1). 30 Supposons F fidèlement plat, e t soit N un S-module à gauche tel que E @R F @S N = O. Puisque E est fidèlement plat, cela entraîne F 8 s N = O, d'où N = O puisque F est fidèlement plat ; cela prouve que E @ R Fest fidèlement plat.

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