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By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der web site) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

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1) Wir halten fest: Ist U ≤ G Untergruppe einer Gruppe G, so haben U und G dasselbe neutrale Element e. Und die Inversen aus U sind die in G gebildeten Inversen der Elemente aus U . 7: Die zyklische Beweisführung für die Gleichwertigkeit mehrerer Aussagen wird meist angestrebt. Man mache sich klar, dass man nach einer zyklischen Beweisführung der Form A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Ak ⇒ A1 für die Aussagen A1 , . . , Ak von jeder Aussage Ai zu jeder anderen Aj in Pfeilrichtung gelangt: Die Aussagen A1 , .

Dann gilt U/N G/N und G/U ∼ = (G/N )/(U/N ) . 9 Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Ist G/U zyklisch und gilt |U/N | = 2, so ist G/N abelsch. Denn: Es ist nämlich (G/N )/(U/N ) ∼ = G/U zyklisch. Wir kürzen G/N =: H und U/N =: K ab. Dann gilt also H/K = a K für ein a ∈ H und K = {e, k} H. Es folgt a k a−1 = k. 3 abelsch. Hat demnach etwa eine Gruppe der Ordnung 10 einen Normalteiler U der Ordnung 2, so ist G abelsch (setze N = {e}).

Dann gilt a U = U a für jedes a ∈ V , und a ∈ NG (U ). Bemerkung. 6 besagt, dass der Normalisator NG (U ) einer Untergruppe U die größte Untergruppe von G ist, in der U ein Normalteiler ist. 3 Faktorgruppen In der Linearen Algebra bildet man zu jedem Untervektorraum U eines Vektorraums V den sogenannten Faktorraum V /U = {v +U | v ∈ V }. Wir führen diese Konstruktion nun für Gruppen durch. Die Rolle der Untervektorräume übernehmen dabei die Normalteiler – mit einer Untergruppe würde dies im allgemeinen Fall nicht funktionieren.

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