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By Dixon M., Kurdachenko L., Subbotin I.

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X 1 x ... x x ... x ⎜ 0 0 ... 0 x ... x ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. ⎟ = ⎜ ⎠ ⎝ 0 B ⎝ . . . ⎠ 0 0 ... 0 x ... x Auf die Matrix B wird nun rekursiv das oben beschriebene Verfahren angewendet. Dabei m¨ ussen, falls in der Spalte j u ¨ber einer 1 in Zeile i noch ur die entsprechenden Zeilen r ∈ { 1, . . , i − 1 } Elemente arj = 0 stehen, f¨ uhrt werden, damit u die Operationen S(r, i, −arj ) durchgef¨ ¨ber dem Pivot aij = 1 nur Nullen stehen. Das Verfahren endet, falls B eine Nullmatrix ist oder falls B leer geworden ist.

Xn · zn + β · yn · zn ) = (α · x1 · z1 , . . , α · xn · zn ) + (β · y1 · z1 , . . , β · yn · zn ) = ((α · x1 , . . , α · xn ) ⊗ (z1 , . . , zn )) + ((β · y1 , . . , β · yn ) ⊗ (z1 , . . , zn )) = (α · (x1 , . . , xn ) ⊗ (z1 , . . , zn )) + (β · (y1 , . . , yn ) ⊗ (z1 , . . 19) gezeigt ist. 20) kann analog gezeigt werden. 12 Die Abbildung ⊗ : R3 × R3 → R sei definiert durch ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a d ⎝ b ⎠ ⊗ ⎝ e ⎠ = ad + be − cf c f Beweisen Sie: Die Operation ⊗ ist eine Bilinearform u ¨ber R3 !

6). h. es ist A · = b. h. ist auch eine L¨osung von LM = (LA|Lb). Es folgt L(M) ⊆ L(LM)). h. es ist L · A · = L · b. h. ist eine L¨osung von (A, b). Damit folgt L(LM)) ⊆ L(M). Insgesamt folgt L(M) = L(LM)), womit die Behauptung gezeigt ist. h. eine erweiterte Koeffizientenmatrix und ihre Zeilenstufenform sind a¨quivalent. ✷ Auf der Basis dieser Folgerung ergibt sich folgendes Verfahren, das so genannte Gausssche Eliminationsverfahren, zur L¨osung linearer Gleichungssysteme (A, b) ∈ GLK mn [x]: (1) Berechne (mit dem im letzten Abschnitt beschriebenen Verfahren) zur erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) die Zeilenstufenform, die wir ebenfalls mit (A|b) bezeichnen wollen.

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